Kantenfilter sollen im Gegensatz zu Glättungsfiltern lokale Variationen im Grauwert eines Bildes hervorheben und konstante Grauwerte unterdrücken. Wenn Sie sich eine Kante als einen kontinuierlichen Übergang von einem konstanten Grauwert zu einem anderen, höheren konstanten Grauwert vorstellen, wird Ihnen sofort klar, daß die Ableitung des Grauwertes nach der Ortskoordinate bei der Kantenposition (genauer: am Wendepunkt) ein Maximum haben wird, links und rechts daneben, wo die Grauwerte konstant sind, ist die Ableitung Null. Auch die zweite Ableitung liefert die Kantenposition: sie ergibt einen Doppelpeak für die Kante, die Kantenposition liegt beim Nulldurchgang zwischen den beiden Peaks.
Tatsächlich kann man Sensoren bauen, die Kanten finden, indem man das analoge Grauwertsignal elektronisch differenziert. Das wird auch manchmal so gemacht, z.B. bei der Erkennung von Magnetcodierungen mit einem induktiven Meßkopf („MICR“, „Magnetic Ink CharacterRecognition“). In der digitalen Bildverarbeitung ist das nicht so einfach: die Ableitung muß durch eine Diskretisierung berechnet werden, die lediglich die Stützstellen auf dem diskreten Bildraster benutzt. Diese Techniken sind aus der numerischen Mathematik seit langem bekannt. Auch bei der numerischen Differentiation einer Funktion werden nur Funktionswerte an diskreten Stützstellen benutzt.
Zwei wichtige Anforderungen an ein Kantenfilter sind:
- das Kantenfilter soll die Lage der Kante nicht verändern
- das Kantenfilter soll isotrop sein, also nicht nur Kanten hervorheben, die in bestimmten Richtungen (etwa parallel zur x-Achse) verlaufen, sondern alle Kantenrichtungen gleich behandeln.
Die elementaren Ableitungsfilter längs der x- und y-Achse:
sind unsymmetrisch, sie verschieben die Position der Kante um ein halbes Pixel. Deshalb benutzt man lieber die symmetrische Form:
Diese beiden Filter „finden“ optimal nur Kanten senkrecht zur x- bzw. y-Achse.
Anstelle der Ableitung benutzen viele Kantenfilter deshalb eine Diskretisierung des Gradienten. Der Gradient ist ein Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungen längs der x- und y-Achse sind. Der Gradient zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs des Grauwertes an diesem Punkt in der Fläche, sein Betrag ist ein Maß für die „Steilheit“ des Anstiegs.
Eine einfache Form dieses Kantenfiltertyps ist der Roberts-Cross-Operator:
Beide Operatoren werden separat auf das Bild angewendet. In jedem Pixel bildet man dann den jeweiligen Betrag des Grauwertes im jeweiligen Ergebnisbild. Die beiden Ergebnisbilder werden dann zu einem Ergebnisbild zusammengeführt, indem man Pixel für Pixel entweder die Summe der Beträge oder das Maximum der Beträge dem Pixel im Ergebnisbild zuweist.
Kantenfilter reagieren stark auf Rauschen. Deshalb wird bei vielen Kantenfiltern senkrecht zur Ableitungsrichtung geglättet, z.B. beim Prewitt-Filter:
Daraus kann man auch noch „Diagonalfilter“ herleiten:
Wieder bildet man die Summe der Beträge oder das Maximum für jedes Pixel und ordnet diesen Wert dem Ergebnisbild zu.
Beliebt sind die Sobel-Filter, die eine gewichtete Mittelung senkrecht zur Differenzierungsrichtung benutzen:
Ein ähnlicher Satz von Filtern sind die Kirsch-Operatoren. In diesem Fall werden acht verschiedene Filter für alle „Himmelsrichtungen“ angegeben. Ein solcher Filtersatz wird auch als „Kompaßfilter“ bezeichnet:
Die zweite partielle Ableitung wird mit elementaren symmetrischen Filtern realisiert durch:
Der Laplace-Operator ist die Summe der zweiten partiellen Ableitungen längs der beiden Koordinatenachsen. Er wird realisiert durch:
Dieser Operator ist (für kleine Wellenzahlen) isotrop, wirkt also in alle Richtungen gleich.
Weitere Realisierungen des Laplace-Operators sind:
und:
Sie haben bessere systemtheoretische Eigenschaften als das elementare Laplace-Filter.
In der Literatur gibt es eine Reihe von weiteren, gut untersuchten Varianten von Kantenfiltern, z.B. mit größeren Filtermasken. Filter werden später unter systemtheoretischen Aspekten als Faltungen statt wie hier als Nachbarschafts-operationen aufgefaßt. Manche Aspekte der Filteroperationen treten dadurch klarer hervor. Für industrielle Anwendungen muß immer beachtet werden, daß Filteroperationen rechenintensiv sind. Die Rechenzeiten nehmen mit steigender Filtergröße zu! Es ist deshalb für die Implementierung interessant zu wissen, daß in manchen Fällen (nicht in allen!) „größere“ Filter als Hintereinanderausführung „kleiner“ Filter realisiert werden können. Mehr dazu später.
Bei industriellen Anwendungen ist oft Vorkenntnis über die Lage und Richtung von Kanten innerhalb gewisser Toleranzen vorhanden. Es ist dann effektiver, diese Vorkenntnis zu nutzen, statt ein aufwendiges Filter über das gesamte Bild laufen zu lassen. Beispielsweise kann es dann genügen, in einem bestimmten Bildbereich ein einfaches eindimensionales Filter vom Typ Dx zu verwenden oder gar nur längs einer Linie senkrecht zu der erwarteten Kante nach einem Grauwertsprung mit vorgegebener Mindesthöhe und Mindestbreite zu suchen („Antasten“). Wenn die Kante gefunden ist, wird ihre Umgebung mit feineren Methoden untersucht.
Es gibt weitere Methoden, Kanten sichtbar zu machen und in diesem Sinne Kanten zu erkennen oder den Kontrast zu verstärken. Beispielsweise kann man eine Dilatation auf ein Bild anwenden und das Originalbild vom Ergebnis der Dilatation subtrahieren. Dabei bleiben Kanten übrig (Das ist allerdings eine ziemlich rüde Methode, bei der man nicht hoffen darf, daß die Kantenposition liegen bleibt!). Entsprechend kann man zwei verschiedene Glättungsfilter benutzen und die Differenz der entstehenden Bilder bilden. Dieses Verfahren wird als „ DoG“-Filter bezeichnet, „Difference of Gaussian“, wenn die beiden Glättungsfilter Gaußfilter sind. Auf diese Weise kann man auch Bandpaßfilter realisieren, die bestimmte Ortsfrequenzen bevorzugt durchlassen. Man kann auch zunächst glätten und dann auf das Ergebnis ein Laplacefilter anwenden. Diese Hintereinanderschaltung zweier Filter wird als „LoG“-Filter bezeichnet, Laplace of Gaussian“.